Over het electrolytisch etsen van koper

Inleiding
In boeken over emailleren waarin de champlevé-techniek wordt behandeld wordt meestal het etsen met salpeterzuur en/of het etsen met ferrichloride vrij uitvoerig beschreven. Het electrolytisch etsen wordt een enkele maal genoemd. Zie b.v. het boek van Patrick Strosahl c.s. [ 1 ]. In EMAIL jaargang 9 no 1 staat een door Go de Kroon vertaald artikel over etsen m.b.v. waterstofperoxyde en zoutzuur. Het etsen met salpeterzuur gaat onregelmatig; je krijgt rafelige lijnen. De nitreuze dampen die hierbij vrijkomen zijn zeer giftig. Mijn ervaringen met het etsen met ferrichloride zijn veel gunstiger, maar ferrichloride is evenals salpeterzuur een stof die etsend werkt op de huid. Je moet er erg voorzichtig mee zijn. Ook 30% waterstofperoxyde is een stof waar je voor moet oppassen. Na afloop van het chemisch etsen blijf je zitten met koperzouten en de resten van de gebruikte chemicaliën. Bij het electrolytisch etsen houd je alleen metallisch koper over. De kopersulfaat-oplossing die je nodig hebt is niet agressief en betrekkelijk weinig giftig [ 2 ]. Ik ben zeer tevreden over de resultaten en ik ben er van overtuigd dat het nog beter kan.
In “Glass on Metal” van oktober 1998 staat een goed overzicht van etsmethoden voor champlevé, geschreven door Coral Shaffer. Over etsen met behulp van gelijkstroom schreef ze onder meer: “I have great hopes for this etching option” en “It is very hard to find any written information about it!” En zo is het nog steeds, wanneer het gaat om champlevé. Ook op internet heb ik niets kunnen vinden. Wel is er door grafisch kunstenaars over elektrolytisch etsen geschreven. Zeer waardevolle informatie over toepassing, geschiedenis en achtergronden is te vinden op de site van Cedric Green.
Principe
Wanneer je twee stukken koperplaat op enige afstand van elkaar in een oplossing van kopersulfaat hangt en je verbindt het ene stuk met de positieve en het andere stuk met de negatieve pool van een gelijkstroombron, dan gaat er een stroom lopen. Aan de positieve plaat (de anode) gaat koper in oplossing; op de negatieve plaat (de kathode) wordt koper afgezet. De hoeveelheid koper die in oplossing gaat is gelijk aan de hoeveelheid die wordt afgezet en is per tijdseenheid evenredig met de stroomsterkte. Wanneer je de anode gedeeltelijk afdekt wordt alleen op de niet bedekte plaatsen het koper weggevreten. Ik zal in het kort beschrijven wat ik doe. Dat is voor een heel groot deel het gevolg van toevallige omstandigheden, met name van de instrumenten en de materialen die ik in huis had, zoals een acculader, perspex en een flinke voorraad koperen plaatjes van 85 x 85 x 1,5 mm. Ik heb maar weinig geëxperimenteerd met de verschillende variabelen. Vandaar mijn overtuiging dat het beter kan. Ik denk echter ook dat mijn ervaringen belangstellenden voor deze techniek een flink eind op de goede weg kunnen helpen.
Electrische voorzieningen
Als gelijkstroombron gebruikte ik een acculader [ 3 ]. Om de spanning, en daarmee de stroomsterkte, te kunnen regelen gebruik ik een dimmer [ 4 ], die tussen de 220 V netstroom en de acculader wordt geschakeld. Een handige bak is volgens mij van kunststof, rechthoekig, met verticale doorzichtige wanden (om beter te kunnen volgen wat er gebeurt). Ik heb er een gemaakt van 5 mm Perspex, inw. 12 x 12 cm, 13 cm hoog [ 5 ]. Om verdampen van het water tegen te gaan kan ik het geheel afdekken met een perspex deksel. Ik vul de bak met een oplossing van 1 deel kopersulfaat in 5 delen gedistilleerd of gedemineraliseerd water [ 6 ], tot ca 1 cm onder de rand.
Als kathode gebruik ik een plaatje RVS van 12×12 cm (het afgezette koper is hiervan veel makkelijker te verwijderen dan van een koperen plaatje), met daaraan een koperen lipje geklonken, dat buiten de bak steekt en dat kan worden verbonden met de stroombron. Het werkstuk hang ik in een klem [ 7 ] tegen de tegenoverliggende zijde van de bak. Het werkstuk moet verbonden worden met de stroombron. Het verbindingspunt moet echter onbereikbaar zijn voor de kopersulfaatoplossing, anders is de verbinding weggeëtst, lang voor dat je het gewenste resultaat hebt bereikt. Na veel teleurstellingen heb ik nu een simpele methode gevonden die goed voldoet. Je hebt er dun en zeer soepel draad voor nodig. In de electronicavakhandel waar je dit kunt kopen wordt het montagesnoer genoemd.
Het werkstuk
Maak het werkstuk aan beide zijden schoon met b.v. Vim. Plak de voorkant af met zelfklevende folie [ 8 ]. Snij de uitstekende randen weg met een Stanleymesje. Leg op de achterkant een stukje dun (0,1 à 0,2 mm) koper van ca. 1 x 1 cm dat met fijn schuurpapier goed is schoongemaakt. Plak de achterkant af met de folie en snij de uitstekende randen daarvan ook weg. Breng het ontwerp aan op de voorzijde, b.v. door het uit te snijden in de folie of door de folie op een buitenrand na te verwijderen en met een geschikte afdeklak [ 9 ] de tekening aan te brengen. Maak van een stuk montagesnoer beide uiteinden blank. Verstevig tenminste één van de uiteinden m.b.v. een soldeerbout en wat tinsoldeer. Maak een snede van enkele mm in het folie op de achterzijde, vlak naast het dunne stukje koper. Schuif het verstevigde uiteinde onder het plaatje en dek de opening zorgvuldig af met een paar druppels gesmolten bijenwas. Gebruik hiervoor b.v. een dikke, verwarmde spijker of, veel makkelijker, een soldeerpistool. Plak dan met een flink stuk folie de verbindingsplaats af. Om het montagesnoer te fixeren gebruik ik Leukoflex (apotheek of drogist). Tenslotte worden de zijkanten afgedekt door ze een of twee maal te dopen in gesmolten was: verhit de was tot even boven het smeltpunt, (ca. 65 °C ) doop snel en laat het werkstuk heel even afkoelen voor dat je opnieuw doopt. Als je dit niet doet loop je het risico dat het waslaagje erg dun wordt en makkelijk kan worden beschadigd. Wanneer je het vat met gesmolten was schuin zet, is het veel makkelijker niet te diep te dopen (zie de figuur).
Etssnelheid
Bij een stroomsterkte van 1 A wordt per seconde 0,329 mg koper van de anode weggeëtst. Het lijkt voor de hand te liggen dat wanneer je lekker snel op wilt schieten, je de stroomsterkte opvoert. Nu twee formules uit het natuurkundeboek van de middelbare school:
• V = I • R. Hierin is I = stroomsterkte in ampère (A), R = weerstand in ohm, en V het toegepaste spanningsverschil in volt.
• V • I = W, waarbij W = vrijkomende energie in watt per seconde.
Een bepaalde cel (het geheel van anode + kathode + electrolyt) heeft een bepaalde weerstand. Deze is afhankelijk van de oppervlakten van anode en kathode, van de afstand tussen deze twee, van de concentratie van de kopersulfaatoplossing en van de temperatuur. De weerstand van de cel bepaalt de spanning die je moet aanleggen om de gewenste stroomsterkte te krijgen (eerste formule). Een twee maal zo grote spanning geeft een twee maal zo grote stroomsterkte. Uit de tweede formule volgt echter dat de vrijkomende energie (warmte) dan vier maal zo groot wordt. Dit geeft al snel problemen: Bij te hoge temperatuur wordt de was zacht en hecht de afdeklaag minder goed. Het etsen gaat onregelmatiger; de geëtste vlakken worden hobbelig. (Dat laatste geeft wel leuke effecten die je kunt gebruiken bij basse-taille werkstukken.) Bij een vrij oppervlak van de anode van ca 50 cm² gebruik ik voor een mooi resultaat een stroomsterkte van 1 à 1,2 A (bij 5 à 6 V). De temperatuur loopt daarbij op tot 15 °C boven die van de omgeving. Het etsen duurt dan ca. 10 uur tot je een voor emailleren voldoende diepte hebt bereikt (0,3 mm). Er zijn echter nog een paar probleempjes:
1. De warmte komt vooral vrij bij de anode. Om warmte- en concentratieverschillen te voorkomen houd ik de vloeistof in beweging door er m.b.v. een aquariumpomp luchtbelletjes door te laten borrelen.
2. Het etsen gaat aan de randen en vooral in de hoeken veel sneller dan in het midden. In de geschetste opstelling wel twee maal zo snel. Ik heb geen idee hoe dit komt. Helaas wordt ook bij het electrolytisch etsen het koper onder de afdeklaag weggevreten. Van een lijn verdwijnt aan beide zijden ca. 50% van de geëtste diepte. Waar het diepst wordt geëtst verdwijnt het meest van de lijn. Je kunt daar bij je ontwerp rekening mee houden, maar bij het maken van geometrische figuren, wat ik bij het experimenteren met deze etsmethode veel heb gedaan, maakt het sneller etsen in de hoeken het toch erg moeilijk om een mooi resultaat te krijgen. Door het plaatsen van een stuk perspex van 12 x 12 cm, met in het midden een gat van 4 x 4 cm, ca. 2,5 cm voor de anode is het mij gelukt dat sneller etsen in de hoeken goed tegen te gaan.
Omdat je voor champlevé veel dieper moet etsen dan voor grafisch werk zijn de problemen die je moet overwinnen voor een deel heel anders. Ook grafici geven echter aan dat hun werkstukken aan de randen dieper worden geëtst dan in het midden, en ook dat in een gebied waar veel lijnen dicht bij elkaar moeten worden geëtst het etsen minder diep is dan waar slechts een enkele lijn wordt omgeven door een relatief groot gebied waar verder niets wordt weg geëtst. Mijn verklaring hiervoor is nu dat waar sulfaat ionen en/of koper ionen het snelst kunnen worden aan- resp. afgevoerd, het etsen het snelst zal gaan. Dat is waar de “weg” het breedst is; waar te etsen vlakken het minst met elkaar concurreren.
Bij de aan- en afvoer van ionen speelt ook het spanningsverval een grote rol. Door het plaatsen van een schot met een gat in het midden, tussen kathode en werkstuk, wordt de afstand in de kopersulfaatoplossing, tussen de kathode en de rand van het werkstuk langer dan de afstand tot het midden van het werkstuk. Dat is de reden dat je met behulp van een dergelijk schot het dieper etsen aan de randen kunt tegengaan. [ 10 ]
Ik heb veel tijd besteed aan proeven met het plaatsen van schotten van geperforeerd roestvrij staal tussen kathode en werkstuk, in de verwachting dat ik daarmee het spanningsverval zou kunnen beïnvloeden. Dat was niet het geval. Ook wanneer ik een dergelijk schot verbond met de anode was er geen merkbare invloed op het etsen: de buitenranden van het werkstuk werden steeds dieper geëtst dan het midden.
3. Vooral in het begin van het etsproces doet zich het verschijnsel voor dat een zeer fijn verdeelde stof als een film voor de te etsen vlakken komt te hangen (verontreiniging, oxide? uit de walshuid ?). Bij langer staan zakt deze stof in de benedenhoeken van de te etsen vlakken en vertraagt daar het etsen. De stof is gemakkelijk te verwijderen met een zacht kwastje. Om regelmatig etsen te bevorderen (zie ook 2) draai ik het werkstuk om het uur een kwart slag.
Ik heb nu de overtuiging dat de fijnverdeelde stof koperoxide is, dat wordt gevormd door ontwikkeling van zuurstof aan de anode. De ontleding van water in waterstof en zuurstof is een nevenreactie die optreedt tijdens het etsproces. (De waterstof komt vrij aan de kathode) De zuurstof is volgens mij ook de oorzaak van het loslaten van de afdeklak onder ongunstige omstandigheden.
Het etsen gaat bij mij altijd naar tevredenheid wanneer:
1. De temperatuur boven de 30 °C is.
2. De spanning niet hoger dan 6 Volt is.
3. De stroomdichtheid niet groter is dan (gemiddeld!) 0,02 A per cm² te etsen oppervlak.
De laatste voorwaarde is de belangrijkste!
Nog wat opmerkingen van praktische aard
Ik heb contact gehad met Coral Shaffer over het elektrolytisch etsen. Zij gebruikt zwavelzuur als elektrolyt en zegt daarmee zeer goede resultaten te bereiken. Bij gebruik van zwavelzuur wordt er geen koper afgezet op de kathode, maar komt daar waterstof vrij. Het weggeëtste koper gaat in oplossing. Er wordt kopersulfaat gevormd en het zwavelzuur verdwijnt. Ik ben uit ervaring goed op de hoogte met de destructieve werking van zwavelzuur op organisch materiaal, met name op kleding en huid. Mijn wijze van werken gaat gepaard met enig gespat en geknoei. Hoewel ik geloof dat toevoegen van zwavelzuur aan de kopersulfaat oplossing tot betere resultaten kan leiden, omdat je dan waarschijnlijk geen last meer hebt van zuurstof ontwikkeling op het werkstuk, wil ik het om die reden niet proberen. Het gebruik van zwavelzuur leidt ook tot steeds toenemende hoeveelheden zure kopersulfaat oplossing die je moet zien kwijt te raken. Wegspoelen door de gootsteen lijkt me zacht gezegd niet netjes.
Ik heb veel verschillende materialen gebruikt om het werkstuk af te dekken op de plaatsen waar het niet mocht worden geëtst, zoals asfaltlak, andere bitumineuze producten, verschillende soorten verf, vernis, verschillende soorten zelfklevende folie, een onder de naam “Plating Resist” uit Duitsland betrokken product, schellak en bijenwas. Bij al deze soorten ‘resist’ bedroeg de onderetsing ca. 50% en was een geëtste lijn ongeveer V- of U-vormig, behalve bij de bijenwas. Wanneer ik het werkstuk daarmee bedekte door opsmelten van 10 tot 15 mg per cm² en daarna met een ballpoint lijnen en vlakken uit de was kraste, bedroeg de onderetsing ca 15% en hadden de geëtste lijnen op doorsnede de vorm van een afgeknotte O (zie figuur). Ik heb er geen idee van waarom dit zo is en wil het wel graag weten!
Een ander verschijnsel dat ik niet kan verklaren is het volgende: Het koper zet zich op de kathode niet gelijkmatig af, maar in de vorm van verticale strepen: Dikkere lagen worden afgewisseld door dunnere lagen. De afstand tussen het midden van twee dikke lagen is bij een afstand tussen kathode en werkstuk van ca 11 cm, ruim 1 mm. Wanneer de afstand tussen kathode en werkstuk kleiner is wordt ook de afstand tussen de strepen kleiner. Waarom strepen en waarom zijn ze verticaal?????
Wanneer je gebruik maakt van een voedingsapparaat waarbij het mogelijk is zowel de maximale spanning als de maximale stroomsterkte in te stellen, stel deze dan in op de minimale waarden en ga dan na het tot stand brengen van de verbinding met anode en kathode, als volg te werk:
• Maak een schatting van het totale oppervlak dat je wilt etsen. Vermenigvuldig het geschatte aantal cm² met 0,02. De gevonden waarde is de maximale waarde van de te gebruiken stroomsterkte gemeten in Ampère.
Verhoog in kleine stappen afwisselend spanning en stroomsterkte tot de waarde van 6,0 Volt of de maximale waarde van de te gebruiken stroomsterkte is bereikt.
• Bij een stroomdichtheid van 0,026 A per cm² wordt, als er geen onderetsing optreedt, per uur 0,26 mm diep geëtst. Bij een lagere stroomdichtheid is de etsdiepte per uur evenredig kleiner. Met dit gegeven kun je een schatting maken van de voor het etsen van je werkstuk benodigde tijd. Wanneer je er voor zorgt dat het werkstuk in het midden van de vloeistof is geplaatst (afstand tot bodem, zijwanden en bovenkant kopersulfaatoplossing gelijk) is het niet nodig het werkstuk af en toe te draaien.
• Omdat ik nu bij lagere spanning en stroomsterkte werk dan vroeger soms het geval was, is koeling geen probleem meer. Vóór het etsen verwarm ik de kopersulfaatoplossing. tot ca 32 °C met een verwarmingselement voor aquaria van 100 watt. (Daarmee kun je 1 liter water in 1 minuut ca 1,4 °C in temperatuur laten stijgen). Met behulp van mijn ‘dimmer’ en een verwarmingselement van 15 watt houd ik gedurende het etsen de temperatuur tussen 30 en 35 °C.
• De sulfaationen trekken naar de anode en veroorzaken daar met de weggeëtste koperionen een toename van de concentratie aan kopersulfaat. De geconcentreerde oplossing is zwaar en zakt naar de bodem. Dat is de reden dat wanneer je het werkstuk op de bodem legt en niet zeer goed roert, er problemen kunnen ontstaan. Ik heb het meegemaakt dat kopersulfaat uitkristalliseerde op een op de bodem gelegd werkstuk.
• Wanneer je een ontwerp maakt door dit uit te snijden in zelfklevende folie van het type kastpapier/decoratiefolie, haal dan de te verwijderen folie zo spoedig mogelijk van het koper. De hechting neemt snel toe, en na ca 12 uur blijven er vaak zeer hinderlijke lijm resten achter.bij het verwijderen.
• Els en Philip Quanjer hebben dit jaar iets geschreven over PnP. Hier volgt een kleine aanvulling hierop, gebaseerd op mijn ervaringen met maar één velletje, maar wel in overeenstemming met wat Coral Shaffer, van wie ik het velletje heb gekregen, mij hierover schreef. PnP is uitstekend voor het overbrengen van tekeningen op je werkstuk (vensteremail!). Het laagje resist dat met PnP-blue ook wordt overgebracht is heel erg dun en broos. Boven de plekken waar onderetsing heeft plaatsgevonden brokkelt het bij de minste en geringste aanraking af. De geëtste lijnen kunnen hierdoor toch iets rafelig worden. Ook zitten er in het laagje resist vaak hele kleine gaatjes. Voor een mooi resultaat moet je de resist van de PnP-blue overschilderen met een andere resist. Dat kost tijd!
• Schellak is ook broos. Door toevoegen aan de oplossing hiervan in spiritus, van ca 2% van de vaste stof aan ricinusolie (wonderolie) krijg je een taaiere resist. (Ricinus olie is de enige vette olie die mengbaar is met spiritus).
Tot slot
Het is allemaal minder ingewikkeld dan het lijkt. Met een zaklantarenbatterij, twee stukjes koper van zeg 3 x 3 cm, een stuk zelfklevend folie (b.v. van zo’n bruine rol die samen met pakpapier voor inpakken wordt gebruikt), wat kopersulfaat, gedemineraliseerd water, een kunststof bakje en een stuk dun snoer kun je ook al etsen.
Veel succes! Ik wil graag van de ervaringen van anderen leren. Ik ben vooral geïnteresseerd in het probleem van het sneller etsen in de hoeken, in ervaringen met verschillende folies en afdeklakken, in ervaringen met andere concentraties kopersulfaat en in oplossingen om de temperatuur laag te houden (koeling).
Voetnoten
1. A manual of cloisonné and champlevé enameling. New York, 1981.
2. De minimale lethale dosis is ca. 10 g. In kleine hoeveelheden (ca. 300 mg) is het sterk braakverwekkend. De geconcentreerde oplossing werkt licht etsend op de huid. (Je moet het niet in je ogen wrijven.) De oplossing kun je steeds weer gebruiken. Je moet hem alleen af en toe filtreren (b.v. door een koffiefilter). N.B. Ik weet niet waar je nu (2003) de relatief goedkope kopersulfaat van technische kwaliteit die ik nog steeds gebruik, kunt kopen.vHet moet een acculader voor 12 V loodaccu’s (auto-accu’s) zijn. Ik heb een “Einhell Batteriemaster” van 9 A. Deze kostte in 1993 ca. f 100,-. Een acculader van 4 A is voor het door mij beschreven etsen van kleine werkstukken voldoende sterk. Bij zaken als Gamma en Praxis wordt die soms aangeboden voor minder dan € 25.
3. Waarschijnlijk is niet iedere dimmer die geschikt is voor een gloeilamp bruikbaar. Ik heb de mijne gekocht bij een electronicawinkel, waar ik heb uitgelegd waarvoor ik hem nodig had. Er staat geen merk op, en de gebruiksaanwijzing is zoek. Prijs: ca f 55,–. Een acculader is voorzien van een (vrij onnauwkeurige) amperemeter. Wil je experimenteren dan is een voltmeter erg handig. Er zijn veel zgn multimeters in de handel met zeer verschillende meetbereiken.
N.B. Ik durf niets te zeggen over de electrische veiligheid van het systeem. Misschien is het heel verstandig om de stekker uit het stopcontact te trekken voor je de anode of de cathode aanraakt!
Wanneer ik van tevoren had geweten dat je met deze methode zulke leuke resultaten kunt bereiken had ik direct een voedingsapparaat gekocht. Ik heb er nu een van de fa. Conrad in Enschede. Spanning en stroomsterkte zijn traploos instelbaar. Wanneer je elektrolytisch wilt etsen is de aanschaf van een dergelijk apparaat een heel goede investering. Je bespaart er heel veel tijd mee t.o.v. de opstelling die ik negen jaar geleden beschreef. Koop er wel een met een digitale aanwijzing van spanning en stroomsterkte. Door de beperking van de te gebruiken spanning tot maximaal 6 volt en de maximale stroomsterkte van 2 A die ik voor mijn werkstukjes van maximaal 10,5 x 10,5 cm gebruik was het voor mij dus niet nodig het duurste apparaat te kopen.
4. Deze afmetingen hebben geen theoretische achtergrond. Laatst zag ik diepvries voorraaddozen van het merk Curver, die mij goed bruikbaar leken.
5. In het boek van Strosahl kwam ik ongeveer deze sterkte (32 ounces per gallon) tegen in een stukje over verkoperen. Je moet toch ergens mee beginnen. Ik heb nooit een andere sterkte geprobeerd. De oplosbaarheid van kopersulfaat is 1 deel in 3 delen water.
6. Ik heb een aantal hulpmiddelen gemaakt die het leven van een electrolytisch etser veraangenamen. Beschrijven of tekenen is lastig. Belangstellende leden van de VNE zijn welkom als ze willen komen kijken.
7. De ideale folie hecht goed, laat geen lijmresten achter bij het lostrekken en is geschikt om op te tekenen. MATCH “kastpapier”, no 505 voldoet redelijk (winkel voor huishoudelijke artikelen.)
8. Ik heb allerlei bitumineuze produkten, zoals asfaltlak geprobeerd. Een oplossing van schellak in spiritus lijkt beter te voldoen.
9. Voor een werkstuk van 10×10 cm gebruik ik nu een schot met een rond gat van 35 mm diameter op een afstand van 3 cm van het werkstuk.
29 oktober 1993. Herzien 9 oktober 2002.


De heer Freerk Jongsma heeft nog de volgende drie aanvullende stukken opgestuurd.

Opmerking
Deze vertaling is door vertaalsoftware gemaakt. Derhalve kan niet worden gegarandeerd dat de
vertaling begrijpelijk, nauwkeurig, volledig of betrouwbaar is of geschikt is voor bepaalde
doeleinden. Baseer geen kritische beslissingen, zoals commercieel relevante of financiële
beslissingen, op door computersoftware gemaakte vertalingen.
SAMENVATTING US5102520
Er wordt een apparaat en een werkwijze voor het toepassen daarvan voor het etsen van een
metalen voorwerp, op geschikte wijze een plaat met een metalen drukplaat te bereiden.
Het object wordt gedeeltelijk door een resist oppervlak waarbij de belichte delen van de metalen,
wordt blootgesteld aan de werking van een elektrolytische etsmiddel kracht.
De inrichting bestaat uit een bad van een waterige elektrolyt, een elektrode, geschikt maar niet
kritisch metaal, dompelpompen in de elektrolyt, die zal dienen als de kathode, een bron van
gelijkspanning, verstelbare regelen van de aangelegde spanning kan zijn.
De spanning moet instelbaar om nauwkeurig te werken binnen een vrij smalle spanningsbereik,
zodanig dat de minimale spanning ten minste die van de ionisatie potentieel van het metaal van
de metalen voorwerp in de gekozen elektrolyt en het maximum zal niet wezenlijk de som van
bedragen dan zijn de ontleding spanning van de waterige elektrolyt en de overspanning van de
geselecteerde kathode.
Patent Translate
Powered by EPO and Google
18-09-2015 1

*************************************
Opmerking
Deze vertaling is door vertaalsoftware gemaakt. Derhalve kan niet worden gegarandeerd dat de
vertaling begrijpelijk, nauwkeurig, volledig of betrouwbaar is of geschikt is voor bepaalde
doeleinden. Baseer geen kritische beslissingen, zoals commercieel relevante of financiële
beslissingen, op door computersoftware gemaakte vertalingen.
SAMENVATTING US5102520
Er wordt een apparaat en een werkwijze voor het toepassen daarvan voor het etsen van een
metalen voorwerp, op geschikte wijze een plaat met een metalen drukplaat te bereiden.
—————————————————————————————————————————-
There is provided an apparatus and a process for using same for etching a metallic object,
suitably a plate to prepare a metallic printing plate.
Het object wordt gedeeltelijk door een resist oppervlak waarbij de belichte delen van de metalen,
wordt blootgesteld aan de werking van een elektrolytische etsmiddel kracht.
—————————————————————————————————————————-
The object is partially covered by a resist surface wherein the exposed portions of said metal, will
be exposed to the action of an electrolytic etchant force.
De inrichting bestaat uit een bad van een waterige elektrolyt, een elektrode, geschikt maar niet
kritisch metaal, dompelpompen in de elektrolyt, die zal dienen als de kathode, een bron van
gelijkspanning, verstelbare regelen van de aangelegde spanning kan zijn.
—————————————————————————————————————————-
The apparatus comprises a bath for an aqueous electrolyte, an electrode, suitably but not critically
metallic, immersible in said electrolyte, which will serve as the cathode, a source of direct current
voltage, which may be adjustable for controlling the applied voltage.
De spanning moet instelbaar om nauwkeurig te werken binnen een vrij smalle spanningsbereik,
zodanig dat de minimale spanning ten minste die van de ionisatie potentieel van het metaal van
de metalen voorwerp in de gekozen elektrolyt en het maximum zal niet wezenlijk de som van
Patent Translate
Powered by EPO and Google
18-09-2015 1

******************************

Niet-uniforme verdeling van de elektrische stroom over de dwarsdoorsnede van een geleider in geval van gelijkstroom.

Ir. H.C. Peters
3 september 2008
1. Inleiding

We gaan gemakshalve (het leidt namelijk tot eenvoudige beschouwingen vanwege de rotatiesymmetrie) uit van een cirkelvormige doorsnede met straal R van een oneindig lange homogene elektrische geleider met uniforme doorsnede. We introduceren in de dwarsdoorsnede (zie figuur 1) de poolcoördinaten r en φ.

fig 1kopie
Figuur 1. Schets van de stroomdichtheid in de cirkelvormige dwarsdoorsnede.

We beschouwen een situatie, waarbij er een constante stroom I door de geleider stroomt. Eigenlijk wordt in de literatuur altijd aangenomen dat de verdeling van de stroomdichtheid over de dwarsdoorsnede dan uniform is. In sommige tekstboeken wordt dit zelfs expliciet vermeld, maar veelal wordt het niet als zodanig genoemd, omdat het eigenlijk min of meer vanzelfsprekend lijkt dat een gelijkstroom zich uniform over de dwarsdoorsnede van een geleider zal verdelen.
Maar bij nadere bestudering blijkt dit niet volledig het geval te zijn en in dit document zal worden aangetoond dat de stroomdichtheid in geval van gelijkstroom niet overal in de dwarsdoorsnede even groot is. Het zal namelijk blijken dat de elektrische stroom zich (weliswaar in geringe mate) meer in het binnenste van de dwarsdoorsnede concentreert en dat er in een (dunne) buitenlaag zelfs helemaal geen stroom loopt. We geven dit verschijnsel daarom aan met de benaming stroomcontractie.

2. Natuurkundige analyse

In het geval van een metalen (bijvoorbeeld koperen) geleider zijn de vrije ladingdragers elektronen die uit de buitenste schillen van de in een vast rooster gerangschikte metaalionen zijn vrijgemaakt en zodoende voor transport beschikbaar zijn. Deze vrije ladingdragers zullen (onder invloed van de uitwendig aangelegde elektrische spanning) een bepaalde (in de tijd gemiddelde) driftsnelheid v hebben in de lengterichting van de geleider. Hierbij zien we dus af van de ongeordende thermische beweging der elektronen en beschouwen alleen de systematische voorwaartse snelheid v in de lengterichting van de geleider.
Als er (door het transport van de vele elektronen) een constante stroom door de geleider loopt, gaat dat gepaard met een tijdinvariant magnetisch veldlijnenpatroon in de gedaante van concentrische cirkels met het hart van de doorsnede als gemeenschappelijk middelpunt.
Hierdoor zullen de vrije ladingdragers een naar binnen gerichte Lorentzkracht ondervinden, waardoor de stroomdichtheid aan de buitenrand afneemt en in het binnenste van de geleider toeneemt.
Een iets andere, maar geheel equivalente, beschouwing is om de vele (smal veronderstelde) afzonderlijke stroombanen in de lengterichting van de geleider allemaal te beschouwen als dunne parallelle stroomdraden, waarin de stromen allemaal in dezelfde richting stromen. Het is algemeen bekend dat gelijkgerichte stromen elkaar aantrekken, waardoor de stroomdichtheid dus in het hart van de geleider geconcentreerd gaat worden en aan de buitenkant zal afnemen.
Het zal echter duidelijk zijn dat deze stroomcontractie niet doorgaat tot het extreme geval, waarbij de elektrische stroom zich in een oneindig dunne stroombuis in het hart van de geleider concentreert.
Immers, zodra zich in het binnenste van de doorsnede iets meer en aan de buitenkant iets minder vrije ladingdragers bevinden dan in de stroomloze toestand, is er in de dwarsdoorsnede geen neutrale ladingsverdeling meer. Hierdoor ontstaat er in het vlak van de dwarsdoorsnede een (vanwege de symmetrie) radieel naar binnen gericht elektrisch veld dat de elektronen naar buiten wil duwen en de bovenbeschreven samentrekking dus gedeeltelijk tegengaat. De ladingsdichtheid blijft verschuiven, totdat de naar buiten gerichte elektrische kracht overal in de dwarsdoorsnede gelijk en tegengesteld is aan de naar binnen gerichte Lorentzkracht. In dat geval is een evenwichtssituatie bereikt.
Het is voor een nadere evaluatie interessant om de grootte van het in de dwarsdoorsnede optredende elektrische veld (of iets anders geformuleerd de elektrische spanning tussen het hart en de buitenrand van de dwarsdoorsnede) te kennen.
Eigenlijk is het bovenbeschreven stroomcontractie effect qua fysische beschrijving goed vergelijkbaar met het bekende huid- of skineffect dat er bij hoogfrequente wisselstromen toe leidt dat de stroomdichtheid zich eveneens niet uniform over de dwarsdoorsnede verdeelt. Echter, bij het skineffect concentreert de elektrische stroom zich juist aan de buitenkant en loopt er binnenin de geleider minder stroom. Het skineffect beschrijft dus een precies tegenovergestelde situatie!
Het is interessant om op te merken dat het skineffect in alle leerboeken over elektriciteit en magnetisme nadrukkelijk wordt genoemd, maar dat de stroomcontractie in het geval van gelijkstroom nooit wordt besproken. Dit houdt waarschijnlijk ofwel verband met onbekendheid met het fenomeen ofwel met het feit dat de stroomcontractie in het geval van gelijkstroom een zeer klein effect en dus voor de praktijk van weinig belang is.
De bovenstaande fysische analyse beschrijft het fenomeen op hoofdlijnen en op kwalitatieve wijze. Daarom wordt hierna ook een wat meer gedetailleerde wiskundige analyse gegeven die tot kwantitatieve resultaten leidt.

3. Wiskundige analyse

De stroomdichtheid J (r,φ) is dus niet-uniform zijn over de dwarsdoorsnede, maar vanwege de rotatiesymmetrie mogen we veronderstellen dat J alleen van de afstand r tot het middelpunt afhankelijk zal zijn. We schrijven daarom in het vervolg voor de stroomdichtheid J = J (r).
Met behulp van de stelling van Stokes vinden we het verloop van de magnetische veldsterkte H = H(r) die vanwege de rotatiesymmetrie ook alleen een functie van r zal zijn. De magnetische veldlijnen vormen, zowel binnen als buiten de geleider concentrische cirkels.
Voor de lijnintegraal van de magnetische velsterkte veld langs een cirkel met straal r in de dwarsdoorsnede geldt:

∫ H(r) dl = H(r) r ∫ dφ = H(r) 2π r = I(r) => H(r) = I(r) / 2π r (1)
0

Buiten de geleider (r > R) is de omvatte stroom I(r) = I onafhankelijk van r. Kennelijk verloopt dus H(r) omgekeerd evenredig met de afstand r tot het middelpunt van de dwarsdoorsnede. De functie H(r) heeft buiten de geleider dus de gedaante van een orthogonale hyperbool met de assen als asymptoot.
Binnen de geleider (r < R) neemt de stroom I(r) omvat door een willekeurige cirkel met straal r monotoon af met afnemende straal r. Immers, dan geldt voor de stroom I(r) die gaat door het oppervlak gerekend vanaf het middelpunt tot de afstand r de volgende uitdrukking:
r
I(r) = ∫∫ J(α) α dα dφ = 2π ∫ J(α) α dα (2)
α = 0

Combinatie van vgl. (1) en (2) levert dan binnen de geleider de volgende vgl. op:
r
H(r) = I(r) / 2π r = 1/r ∫ J (α) α dα (3)
α = 0

fig 2

Figuur 2. Schets van het verloop van H (r) bij constante stroomdichtheid.

Zodra we (ter controle) als bijzonder geval substitueren dat de stroomdichtheid overal over de dwarsdoorsnede constant (dus onafhankelijk van r) is en gelijk aan I / πR², dan geldt:
r r
H(r) = I / πR² r ∫ α dα = I / πR² r [ ½ α²] = I r / 2π R² (4)
α = 0 α = 0

In dat bijzondere geval neemt H(r) kennelijk recht evenredig toe met de afstand r tot het middelpunt. Uit vgl. (1) en (4) blijkt bovendien dat H(r) in dat geval continu (maar niet continu differentieerbaar!) is bij het passeren van de buitenrand (substitueer in beide vergelijkingen r = R) van de geleider. Voor deze eenvoudige situatie is het verloop van het magnetische veld H(r) geschetst in figuur 2. In de dwarsdoorsnede is dan alleen een magnetisch veld en geen elektrisch veld aanwezig. We zullen echter in het vervolg van onze beschouwing uitgaan van het algemene, niet-uniforme geval en dus van de algemene vergelijking (3).
Tengevolge van het binnenin de geleider aanwezige magneetveld H(r) ondervinden de elektronen een zogenaamde Lorentzkracht, waarvan we de grootte nader willen bepalen. Maar alvorens dat te doen introduceren we eerst nog het begrip ladingsdichtheid ρ(r) die evenals de stroomdichtheid J(r) een nader te bepalen functie van r is.
De stroomdichtheid J(r) van de vrije ladingdragers correspondeert in de geleider met een ladingsdichtheid ρ(r) der vrije ladingdragers volgens de relatie J = ρ v , waarbij v de driftsnelheid voorstelt van de vrije ladingdragers in de lengterichting van de geleider. We veronderstellen dat de driftsnelheid overal in de dwarsdoorsnede even groot is en dus onafhankelijk is van de straal r. Daarmee zijn de functies J(r) en ρ(r) afgezien van de evenredigheidsfactor v aan elkaar gelijk. We kunnen dus voortaan waar dat handig is J vervangen door de equivalente uitdrukking ρv.
Als we dit introduceren in vgl. 3 vinden we voor de magnetische veldsterkte H(r) ditmaal uitgedrukt in de ladingsdichtheid ρ(r) de volgende uitdrukking:
r
H(r) = v / r ∫ ρ(α) α dα (5)
α = 0

Deze vergelijking maakt het mogelijk om in de algemene, niet-uniforme situatie het magnetische veld H(r) te bepalen, zodra het verloop van de ladingsdichtheid ρ(r) der elektronen overal in de dwarsdoorsnede bekend is.
Vanwege het magnetische veld in de geleider ondervindt een elektron met lading e een Lorentzkracht Fm ter grootte van:
r
Fm = e v B = μ e v H = μ e v² / r ∫ ρ(α) α dα (6)
α = 0

Hierin stelt B de magnetische fluxdichtheid voor en μ de magnetische permeabiliteit. Voor de magnetische permeabiliteit binnenin de geleider mogen we de waarde μo van vacuüm invullen. Merk op dat de Lorentzkracht kwadratisch evenredig is met de driftsnelheid v. De Lorentzkracht Fm is naar binnen gericht en daardoor zal de ladingsdichtheid der elektronen (en dus ook de stroomdichtheid!) in het centrum toenemen.
Deze concentratie van vrije ladingdragers in het hart van de geleiderdoorsnede gaat echter niet onbeperkt door, want er treedt door de ladingsverschuiving een tegenwerkende elektrische coulombkracht Fe op die er voor een elektron met lading e in een elektrisch veld E (r) als volgt uitziet:

Fe = e E (7)

Om deze coulombkracht Fe nader te kunnen bepalen, moeten we dus de elektrische veldsterkte E bepalen die optreedt in de geleider, loodrecht op de stroom en die (vanwege de symmetrie) radieel gericht is naar het middelpunt der cirkelvormige doorsnede. Omdat deze bepaling nogal wat rekenwerk vergt is die analyse apart nader uitgewerkt in Appendix A. Daar wordt afgeleid dat voor het elektrische veld geldt:
r
E = 1/ ε r ∫ {ρ(α) – ρo} α dα (8)
α = 0

Hierbij stelt ε de elektrische permittiviteit voor en ρo de ladingsdichtheid der vrije elektronen in stroomloze toestand. Voor ε mogen we binnen de geleider de waarde εo van vacuüm nemen. Uit deze vergelijking blijkt dat er in stroomloze toestand (dus ρ(α) = ρo) geen elektrisch veld in de dwarsdoorsnede is. Tevens blijkt dat bij stroomdoorgang het elektrische veld toeneemt naarmate de stroom toeneemt en dus de ladingsverschuiving ρ (α) – ρo groter wordt.
Met gebruikmaking van vgl. 8 vinden we dan uiteindelijk voor de elektrische kracht Fe de volgende uitdrukking:
r
Fe = eE = e / εo r ∫ {ρ(α) – ρo} α dα (9)
α = 0

Als we deze vergelijking voor Fe vergelijken met formule (6) voor de magnetische kracht Fm, dan vallen de volgende aspecten op.
In de eerste plaats komt in beide vergelijkingen de lading e van het elektron op dezelfde wijze voor, zodat de grootte van deze lading kennelijk niet van belang is in de verhouding der krachten Fe / Fm.
Voorts is het logisch dat μo een rol speelt bij Fm en dat εo een rol speelt Fe.
Tenslotte is het interessant om op te merken dat bij Fm de totale ladingsdichtheid ρ der elektronen van belang is, terwijl bij Fe alleen het verschil ρ – ρo een rol speelt. Dit lijkt wellicht inconsistent, maar dat is niet het geval. Immers, alle vrije elektronen dragen door hun beweging bij tot het magneetveld. Het geïoniseerde metaalrooster staat stil en draagt dus niet bij tot het magnetisch veld.
Voor het elektrische veld ligt dat anders, want de rustladingsverdeling ρo wordt volledig geneutraliseerd door de even grote, maar tegengestelde ladingsdichtheid van het geïoniseerde metaalrooster, zodat alleen het (kleine) verschil ρ – ρo voor een elektrisch veld zorgt.
In de evenwichtssituatie geldt dat de Lorentzkracht volgens (6) gelijk is aan de elektrische kracht volgens (9), zodat we voor elke waarde van r vinden:

r r
μo εo v² ∫ ρ (α) α dα = ∫ {ρ (α) – ρo} α dα (10)
α = 0 α = 0
Als we de eerste tem uit het rechterlid overbrengen naar de linkerkant vinden we:

r r
{1 – (v /c)²} ∫ ρ(α) α dα = ρo ∫ α dα = ½ ρo r² (11)
α = 0 α = 0

Hierbij is voor het product μo εo kortweg de uitdrukking 1/c² (met c de lichtsnelheid in vacuüm) gesubstitueerd. In feite stelt (11) een impliciete vergelijking voor, waaruit we kunnen halen hoe ρ(r) verloopt als functie van de straal r. Daaruit is dan ook het optredende potentiaalverschil tussen het middelpunt en de buitenkant van de geleiderdoorsnede te berekenen.
Als we in vgl. (11) differentiëren naar r vinden we:

{ 1- (v /c)²} ρ(r) = ρo => ρ(r) – ρo ≈ ρo (v /c)² (12)

In bovenstaande vergelijking is gebruik gemaakt van het feit dat de uitdrukking (v/c) veel kleiner is dan 1, hetgeen in Appendix B nader is toegelicht.
Op het eerste gezicht is dit een merkwaardige uitkomst. Immers, we vinden nu uiteindelijk dat overal(!) in de dwarsdoorsnede de ladingsverdeling ρ constant (onafhankelijk van r) is en slechts in geringe mate ( v << c) hoger is dan de ladingsverdeling in stroomloze toestand, zodat de gehele dwarsdoorsnede kennelijk (zij het in lichte mate) negatief geladen is. Intuïtief zou men eigenlijk eerder verwachten dat de ladingsdichtheid ρ(r) geleidelijk zou toenemen met afnemende straal r.
Wel blijkt nu met deze in de dwarsdoorsnede constante ladingsverdeling ρ een lineair met de straal toenemend elektrisch veld te bestaan, waarvan de bijbehorende coulombkracht overal evenwicht maakt met de Lorentzkracht die eveneens lineair met de straal toeneemt. Overigens is dat niet verwonderlijk, want juist de gelijkstelling van coulombkracht Fe en Lorentzkracht Fm (dus E = v B) heeft tot de bovenvermelde uitkomst geleid.
Daarmee lijkt het probleem dus opgelost, maar dat is nog niet helemaal het geval. Immers, we hebben als uitgangspunt gehanteerd dat er geen netto lading in de dwarsdoorsnede wordt opgehoopt, maar dat er slechts een verschuiving plaatsvindt, waarbij de dichtheid van vrije elektronen aan de buitenkant iets afneemt en in het centrum wat toeneemt. Maar nu vinden we ineens dat overal de ladingsdichtheid is toegenomen!
Een ander groot knelpunt blijft dat, als de ladingsverdeling overal in de dwarsdoorsnede constant is en zo groot is als aangegeven in formule (12), we dan tot de conclusie moeten komen dat de gehele dwarsdoorsnede niet meer elektrisch neutraal is en dat er dus buiten de geleider een elektrisch veld ontstaat, maar dat is volledig in strijd met de ervaring.
Bovendien kan men zich afvragen waar die lading vandaan moet komen om de gehele geleider overal elektrisch geladen te krijgen, want de wet van behoud van lading zegt dat een voorwerp wel elektrisch geladen kan worden, maar dat geschiedt alleen, als op een nadere plek een tegengestelde lading wordt opgehoopt en dat is hier niet het geval.
We hebben nu dus kennelijk een lastig probleem, aangezien we enerzijds de geleider in zijn geheel elektrisch neutraal willen houden, maar anderzijds toch overal het krachtenevenwicht Fe = Fm willen handhaven.
De oplossing van deze paradox is dat de elektrische neutraliteit te allen tijde moet gelden en dat we daar dus de hoogste prioriteit aan moeten geven, maar dat we niet overal in de dwarsdoorsnede moeten eisen dat het krachtenevenwicht geldt. Immers, het krachtenevenwicht geldt slechts, als ergens vrije elektronen aanwezig zijn. Zodra ergens in de dwarsdoorsnede geen vrije elektronen meer aanwezig zijn, hoeft daar niet de krachtenbalans (E = v B) te gelden, want er zijn dan geen vrije elektronen die het krachtverschil zouden kunnen voelen en er op zouden kunnen reageren!
Van begin af aan hebben we verwacht dat de buitenlaag, waar de stroomdraad grenst aan de buitenwereld, wat minder vrije elektronen zou krijgen, omdat die zich zouden gaan ophopen in het hart van de geleider. Omdat die buitenlaag dus al spoedig positief geladen wordt, kan daar (zie Appendix A) niet een voldoende sterk elektrisch veld worden opgebouwd om de Lorentzkracht te kunnen weerstaan. Het gevolg is dat daar de Lorentzkracht wint, totdat er uiteindelijk geen vrije elektronen in de buitenlaag meer over zijn!
Daar ontstaat dus een bijzonder gebied, waar het evenwicht der krachten (Fe = Fm) niet langer geldt. De lorentzkracht verdwijnt namelijk, omdat er geen bewegende deeltjes (v = 0) meer zijn. Er heerst dan alleen nog maar een elektrisch veld, maar het stilstaand gedachte metaalrooster is sterk genoeg om die kracht te weerstaan.

4. Nadere analyse van de buitenschil

In die buitenlaag houden we dus alleen nog maar de ladingsdichtheid over van het metalen ionenrooster ρ ion = – ρo (zie Appendix A), zodat in die buitenschil met dikte dr (zie figuur 3) een enorm sterke(!) positieve ladingsdichtheid heerst. Dat impliceert vanzelfsprekend dat die buitenlaag zeer dun moet zijn!

 

fig3

Figuur 3. Ladingsverdeling in de dwarsdoorsnede van de geleider.

De voorwaarde van elektrische neutraliteit zegt nu dat de lading in de positief geladen buitenschil evenwicht moet maken met de (in lichte mate) negatief geladen rest van de dwarsdoorsnede met ladingsdichtheid ρ – ρo = ρo (v/c)². Kennelijk geldt er dus:

2πR dr {– ρo} + {πR² – 2πR dr} {ρo} (v/c)² = 0 (13)

Omdat de dikte dr van de dunne buitenschil zeer klein is t.o.v. de straal R, kunnen we het resterende (negatief geladen) binnenoppervlak ter grootte van {πR² – 2πR dr} in zeer goede benadering vervangen door πR². Als we dit invullen in vergelijking (13) en delen door de gemeenschappelijke factor πR ρo, vinden we:

dr = ½ R (v/c)² (14)

Dan blijkt inderdaad dat de volledig geïoniseerde buitenlaag enorm dun is. Als we een praktische waarde voor R van bijvoorbeeld 1 mm invullen, vinden we voor dr de ongelooflijk kleine waarde van 10 ^ -28 m, hetgeen zelfs veel kleiner is dan de atoomdiameter!
Omdat er in die buitenlaag geen vrije elektronen zijn, loopt er in die buitenlaag ook geen stroom. Daarom zal het magnetische veld in die buitenlaag niet meer evenredig met r toenemen, maar al gaan afnemen (zie figuur 4) volgens 1/r, hoewel we daar eigenlijk nog steeds binnen de geleider zitten. Geconcludeerd kan worden dat er door de stroomcontractie een iets geringer doorstroomoppervlak voor de elektrische stroom beschikbaar is dan zonder stroomcontractie.
Ook merken we op dat het elektrische veld dat van binnen naar buiten evenredig met de afstand r tot het middelpunt toeneemt in de buitenlaag t.g.v. de positieve ladingsdichtheid snel afneemt, zodat de elektrische veldsterkte op de overgang naar de buitenwereld precies nul is geworden, hetgeen in overeenstemming is met de ervaringsexperimenten. Buiten de geleider merken we dus niets van het inwendige elektrische veld! Het verloop van het magnetische en elektrische veld als functie van r is geschetst in figuur 4.
Conclusie is dat we dus in het elektromagnetische veld buiten de geleider kennelijk geen verschil merken tussen de situatie met of zonder stroomcontractie. Binnenin, echter, is er wel degelijk een verschil. Zo is er dus voor de stroming eigenlijk een iets kleinere dwarsdoorsnede beschikbaar dan in het geval zonder stroomcontractie. Ook is er binnenin een elektrisch veld aanwezig en dus is er een (gering) potentiaalverschil tussen kern en buitenrand.

Appendix A. Bepaling van het elektrische veld loodrecht op de stroomrichting.

We maken op een afstand r van het middelpunt gebruik van de stelling van Gauss met Δx een infinitesimaal kleine afstand in de lengterichting van de geleider, Q de omvatte netto lading en ε de elektrische permittiviteit. Voor de oppervlakte-integraal van E over een cilinder met straal r en hoogte Δx vinden we (bedenk dat het onder- en bovenvlak van deze cilinder geen bijdrage leveren, zodat alleen de zijwand overblijft) de volgende uitdrukking:

∫∫ E dA = E ∫∫ dA = E 2π r Δx = Q /ε => E = Q / 2π ε r Δx (A1)

Voor de binnen het cilindervolume V omvatte netto lading Q geldt dat:

r
Q = ∫∫∫ {ρ + ρ ion} dV = 2π Δx ∫ {ρ(α) + ρ ion} α dα (A2)
V α = 0

Omdat de elektrische veldsterkte bepaald wordt door de netto lading binnen de cilinder, moeten we dus niet alleen rekening houden met de negatieve ladingsdichtheid ρ van de vrije, negatief geladen elektronen, maar ook met de positieve ladingsdichtheid ρ ion van het geïoniseerde metaalrooster. Omdat het metaalrooster (afgezien van thermische bewegingen rondom de evenwichtsstand) gefixeerd is in de ruimte, zal de grootte van ρ ion overal in de dwarsdoorsnede onveranderlijk zijn en dus ook niet veranderen bij inschakelen of uitschakelen van de elektrische stroom.
Vergelijking (A2) geldt altijd en is dus ook van kracht in stroomloze toestand. In dat geval treedt geen ladingscontractie op en is de ladingsdichtheid der vrije elektronen dus overal even groot, zodat we ρ (α) kunnen schrijven als ρo. Als we dat substitueren in vergelijking A2 en bedenken dat in stroomloze, neutrale toestand overal moet gelden dat Q = 0, vinden we dat er moet gelden dat ρ ion = – ρo. Kennelijk is dus de ladingsdichtheid van het metaalrooster gelijk en tegengesteld aan de ladingsdichtheid ρo der elektronen, als er geen stroom loopt.
Derhalve kunnen we vergelijking A2 bij nader inzien ook als volgt schrijven:

r
Q = 2π Δx ∫ {ρ(α) – ρo} α dα (A3)
α = 0

Van belang voor het elektrische veld is dus kennelijk het verschil tussen de ladingsdichtheid der elektronen ρ ingeval van stroomcontractie en hun ladingsdichtheid ρo in stroomloze toestand. Immers, de stroomloze ladingsdichtheid ρo wordt, zoals boven beschreven, volledig gecompenseerd door het positief geladen metaalrooster. Substitutie van deze vergelijking in (A1) levert dan uiteindelijk voor het elektrische veld:
r
E = 1/ ε r ∫ {ρ(α) – ρo} α dα (A4)
α = 0

Appendix B. Bepaling van de driftsnelheid v der vrije ladingdragers.

Om een schatting te kunnen maken van de driftsnelheid der vrije ladingdragers (in een metalen geleider zijn dat elektronen) richten we onze aandacht op de hoeveelheid lading die per seconde door de dwarsdoorsnede gaat, als zich daar een grote hoeveelheid elektronen met een bepaalde driftsnelheid door heen beweegt. Om dat nader te onderzoeken gaan we uit van de onderstaande vergelijking:

J = n q v => v = J / n q (B1)

In deze vergelijking stelt J de elektrische stroomdichtheid voor, n is het aantal vrije, voor transport beschikbare elektronen per volume-eenheid, q de lading van het elektron en v de (over vele elektronen gemiddelde) driftsnelheid. Het product nv komt in deze vergelijking overeen met het aantal elektronen dat per seconde door een oppervlakte-eenheid van de dwarsdoorsnede gaat. Met behulp van vergelijking. (B1) kunnen we de grootte van de driftsnelheid v bepalen, zodra de andere parameters bekend zijn.
Laten we beginnen met het vinden van een realistische numerieke waarde voor de stroomdichtheid J. Als een stroomsterkte van bijvoorbeeld 1 Ampère vloeit door een koperen draad met een dwarsdoorsnede van laten we zeggen 1 mm², dan komt dat overeen met een stroomdichtheid van 1 miljoen A/m².
Ook is de waarde van de elementaire eenheidslading e = 1,6 x 10 ^ -19 C nauwkeurig bekend. Elk elektron is negatief geladen met lading –e en we kunnen dus in (B1) voor q de waarde –e invullen. Dan blijkt dat v en J een tegengesteld teken bezitten. Kennelijk gaat de elektrische stroom in de tegenovergestelde richting van de elektronen. We zullen in het vervolg van deze beschouwing het minteken echter weglaten, omdat we hier alleen geïnteresseerd zijn in de grootte van de driftsnelheid en niet in de richting.
Als we deze twee waarden voor J en q substitueren in vergelijking (B1) dan vinden we voor de driftsnelheid de uitdrukking v = 6,25 x 10 ^ 24 /n. Op het eerste gezicht lijkt v dus een erg groot getal te gaan worden, maar dat valt bij nader inzien tegen, want in de noemer van de breuk staat nog de concentratie n der elektronen (dus uitgedrukt als hun aantal per kubieke meter) en dat blijkt bij metalen, bijvoorbeeld koper, een reusachtig groot getal te zijn, zodat we uiteindelijk voor de driftsnelheid een heel bescheiden getal vinden.
Immers, koper heeft een atoomgewicht 63,5 en dus weegt 1 mol koper 63,5 gram. In één mol koper bevinden zich 6,02 x 10 ^ 23 (constante van Avogadro) atomen en dus ook evenveel vrije elektronen, als we gemakshalve aannemen dat elk koperatoom slechts één elektron voor elektrische geleiding beschikbaar stelt.
Daaruit volgt dus een concentratie van vrije elektronen van circa 10 ^ 25 elektronen per kilogram koper. Gecombineerd met de soortelijke massa van koper van circa 8,92 kg/dm³ vinden we uiteindelijk een volumeconcentratie van vrije elektronen van circa 10 ^ 29 /m³, hetgeen inderdaad een reusachtig groot getal is.
We kunnen overigens op een iets andere wijze tot een vergelijkbare schatting voor n komen. Immers, de grootte van een waterstofatoom wordt op circa 10 ^ -10 m geschat en als we ook ongeveer een dergelijke waarde aannemen voor de diameter van een koperatoom, dan passen er dus dicht op elkaar gestapeld ongeveer 10 ^ 30 atomen (en dus ook zoveel vrije elektronen!) in een kubieke meter. Deze schatting komt, qua orde van grootte althans, aardig overeen met de bovenstaande afleiding; zeker als we bedenken dat een koperatoom waarschijnlijk iets groter is dan een waterstofatoom.
Als we de bovengevonden waarde voor n invullen in (B1) krijgen we uiteindelijk een realistische schatting voor de driftsnelheid van 0,1 mm/s; een op het eerste gezicht ongelooflijk lage waarde.
Als we bijvoorbeeld een koperdraad met een lengte van 2 x 20 = 40 cm aansluiten op een spanningsbron en een lampje (zie figuur B1), dan duurt het voor een willekeurig vrij elektron gemiddeld ongeveer een uur (!) voordat hij het elektrische circuit helemaal doorlopen heeft.
Het is op het eerste gezicht misschien wat vreemd dat elektronen zich zo langzaam door de draad bewegen, terwijl een schakelverschijnsel (bijvoorbeeld het plotseling in- of uitschakelen van de stroom) zich met ongeveer de lichtsnelheid langs de draad voortbeweegt. Als we bijvoorbeeld in figuur B1 op een bepaald moment de stroom inschakelen, dan gaat vrijwel onmiddellijk (met een vertragingstijd van pakweg enkele nanoseconden) de lamp branden. Maar als de driftsnelheid zo laag is, dan kunnen er in zo korte tijd natuurlijk nog geen elektronen van de spanningsbron naar de lamp zijn gegaan!
Men dient echter te bedenken dat de gehele koperdraad altijd en overal “gevuld” is met een overvloedige hoeveelheid dicht tegen elkaar aanzittende vrije elektronen en dat een schakelverschijnsel zich als een soort schokgolf door de draad voortbeweegt, terwijl de elektronen zelf eigenlijk maar heel langzaam bewegen. In feite geven dus de aan elkaar grenzende elektronen steeds aan hun buurman de schokgolf door.

figb1

Figuur B1. Elektrisch circuit met een 40 cm lange koperleiding.

Men zou dit kunnen vergelijken met een holle pijp die gevuld is met tegen elkaar aanliggende knikkers. Zodra men aan het begin van de pijp aan de eerste knikker een zet geeft, ziet met aan het eind van de pijp de laatste knikker vrijwel onmiddellijk reageren, terwijl er op dat moment zeker nog geen knikker van begin tot eind van de pijp is gegaan!
Ook kan men denken aan een tsunami op zee. De impulsvormige waterstandverhoging plant zich op diep water met grote snelheid voort (enkele honderden kilometers per uur bij een waterdiepte van enkele kilometers), maar de waterdeeltjes zelf bewegen eigenlijk nauwelijks of niet. Hun aanwezigheid is echter wel nodig om de schokgolf door te kunnen geven. Ook kan men denken aan een menselijk “wave” in een stadion. En dergelijke juichgolf plant zich razendsnel voort, maar de mensen verplaatsen zich niet de richting van de golf.
Samenvattend kunnen we opmerken dat we in deze Appendix een schatting hebben afgeleid voor de driftsnelheid v door onze aandacht te richten op een stilstaande dwarsdoorsnede van de geleider en te beschouwen hoe een groot aantal elektronen zich per seconde door deze dwarsdoorsnede verplaatst.
Bij een enigszins andere, maat vergelijkbare aanpak reizen we a.h.w. mee met een vrij elektron in de lengterichting van de geleider en onderzoeken welke driftsnelheid dat elektron krijgt onder invloed van het aangelegde elektrische veld. Die analyse zal in de volgende Appendix nader worden uitgewerkt. Het zal dan blijken dat we voor de driftsnelheid v een kwantitatief vergelijkbare waarde vinden.
Voor de verhouding v/c vinden we dus ongeveer 3 x 10 ^ -13; een buitengewoon kleine verhouding!
Appendix C. Alternatieve bepaling van de driftsnelheid der vrije elektronen.

We beschouwen nu in de lengterichting van een metalen geleider de weg die een bepaald vrij elektron aflegt. Via middeling in de tijd komt dat namelijk overeen met het ensemblegemiddelde pad dat alle andere vrije elektronen volgen.
We hanteren daarbij het volgende model: het vrije elektron wordt in het (door een externe spanningsbron aangelegde en constant gedachte) elektrische veld E voortdurend versneld in de lengterichting van de geleider. Voor deze versnelling a geldt:

a = F / m = – (e/m) E (C1)

Hierbij stelt F de kracht voor op het elektron met massa m. Het symbool e staat voor de elementaire eenheidslading ter grootte van 1,6 x 10 ^ -19 C. Voor de ladingsdichtheid e/m van het elektron vinden we de waarde 1,7 x 10 ^ 11 C/kg. We zien dat de versnelling tegengesteld gericht is aan de richting van het elektrische veld.
Voor de elektrische veldsterkte E in de lengterichting van een koperen geleider kunnen we een realistische schatting vinden door aan te nemen dat de stroomdichtheid J een waarde heeft van circa 1 miljoen A/m² (zie Appendix B) en voor de soortelijke weerstand ρ van koper een waarde van 1,7 x 10 ^ -8 ohmmeter in te vullen. We vinden dan voor E een zeer lage waarde, hetgeen illustreert dat koper een zeer goede geleider is:

E = J ρ = 0,017 V/m (C2)

Als we deze waarde invullen in vergelijking (C1) vinden we voor de absolute waarde van de versnelling de volgende waarde:

a ≈ 3 x 10 ^ 9 m/s² (C3)

De gevonden waarde voor a is reusachtig groot, want hierdoor zou een elektron in een fractie van een seconde een snelheid krijgen in de orde van de lichtsnelheid! Het elektron krijgt echter niet een alsmaar toenemende snelheid, want regelmatig zal het elektron via een botsing met het stilstaand gedachte atoomrooster (een gedeelte van) zijn snelheid verliezen. Het gevolg hiervan is dat het elektron gemiddeld niet versneld wordt en uiteindelijk een (over langere tijd gemiddelde) constante driftsnelheid krijgt.
We zouden dat eenvoudig kunnen beschrijven door aan te nemen dat het elektron steeds over een (zeer kort) tijdsinterval τ vrij kan bewegen en dan bij een botsing ineens al zijn opgebouwde snelheid verliest, waarna zijn snelheid opnieuw in het elektrische veld gaat toenemen etc.
Bij dit proces bouwt het elektron dus voortdurend kinetische energie op die echter in een botsing met het metaalrooster steeds weer verloren gaat en dan wordt omgezet in trillingsenergie (warmte) van het metaalrooster. De metalen geleider zal dus bij doorgang van de elektrische stroom in temperatuur toenemen.
Voor de (tussen twee opeenvolgende botsingen) in de tijd gemiddelde driftsnelheid v vinden we met v (t) = at de volgende uitdrukking:

τ τ
v = 1 / τ ∫ v (t) dt = a / τ [ ½ t² ] = ½ a τ (C4)
t = 0 t = 0

We hadden hierboven al een waarde voor de versnelling a afgeleid. Het is nu dus van belang om een realistische waarde voor de gemiddelde tijd τ tussen twee opeenvolgende botsingen met het metaalrooster te vinden.
We introduceren daartoe het begrip vrije weglengte d als zijnde de afstand, waarover het elektron vrij kan bewegen tussen twee opeenvolgende botsingen. Die afstand zal in de orde liggen van de afstand tussen twee aangrenzende metaalionen, maar waarschijnlijk toch wel een factor 10 of zo hoger zijn, want het elektron zal niet bij elke botsing zijn volledige opgebouwde driftsnelheid verliezen, terwijl we d hadden gedefinieerd als een equivalente vrije weglengte, waarbij steeds alle snelheid verloren gaat. Derhalve ligt d aanzienlijk hoger dan de echte gemiddelde afstand tussen twee botsingen.
Als de afstand tussen twee naburige koperatomen ongeveer 10 ^-10 meter bedraagt, zouden we dus voor d een waarde van ongeveer 10 ^ -9 meter of zo kunnen invullen. Deze schatting is vanzelfsprekend erg grof, maar desalniettemin voor een ruwe indicatie van de orde van grootte voldoende.
Vervolgens kunnen we uit deze waarde voor de (gemiddelde) vrije weglengte d een schatting voor de gemiddelde tijd τ tussen twee opeenvolgende botsingen afleiden. Immers, voor de tijd tussen twee botsingen zal dan gelden τ = d /u, waarbij u de gemiddelde snelheid van het elektron is.
Voor deze snelheid u moeten we natuurlijk niet de driftsnelheid v (verkregen in het elektrische veld) invullen, maar de thermische snelheid die de elektronen gemiddeld bij kamertemperatuur hebben. We schatten deze thermische snelheid u als volgt af:
_________
½ m u² = (3/2) k T => u = √ 3 k T / m (C5)

Hierbij is m de massa (circa 10 ^ – 30 kg) van een elektron, k de bekende constante van Boltzman (1,4 x 10 ^ -23 J /K) en T de absolute temperatuur, waarvoor we bij kamertemperatuur een waarde van circa 300 K vinden. Als we die waarden invullen, krijgen we uiteindelijk een (grote!) numerieke waarde voor de thermische snelheid u:

u ≈ 100 km/s (C6)

Gecombineerd met een vrije weglengte d in de orde van 10 ^ -9 m (zie boven) leidt dit tot de volgende (buitengewoon kleine!) waarde voor de (gemiddelde) tijd τ tussen twee opeenvolgende botsingen:

τ = d /u ≈ 10 ^ -14 s (C7)

We vullen nu in vergelijking (C4) deze waarde voor τ in en vinden dan voor de driftsnelheid:

v = ½ a τ ≈ 0,01 mm/s (C8)

Deze zeer kleine waarde komt, althans qua orde van grootte, redelijk overeen met de reeds eerder in Appendix B langs andere weg afgeleide waarde van circa 0,1 mm/s. Opgemerkt wordt dat de schatting van de driftsnelheid in deze Appendix vanwege de soms tamelijk grove aannames onnauwkeuriger is dan de schatting volgens Appendix B. De kracht van de afleiding in deze Appendix is echter dat de berekeningen (langs een geheel andere weg!) op overtuigende wijze overeenstemmen met de vorige Appendix.

electrolytisch etsen koper